Como transformar um sorteio uniforme em qualquer variável discreta

O que é a CDF inversa?

A função de distribuição acumulada F(x) = P(X ≤ x) de uma variável discreta é uma escada: sobe em degraus nos valores possíveis de x e fica constante entre eles. A inversa F⁻¹ faz o caminho contrário — parte de um número u entre 0 e 1 e devolve o menor x cujo degrau já alcançou essa altura.

F⁻¹(u) = min{ x : F(x) ≥ u }

No exemplo abaixo, X é o resultado do lançamento de um dado honesto (valores 1 a 6, cada um com probabilidade 1/6). Arraste o marcador âmbar no eixo vertical — ou sorteie um u aleatório — e observe a construção: linha horizontal até a escada, depois linha vertical até o eixo x.

Explore outras distribuições

A mesma ideia funciona para qualquer variável discreta — só muda o formato da escada. Escolha uma distribuição, ajuste os parâmetros e repita o experimento de projetar u sobre F⁻¹.

A cauda é truncada visualmente após 99% da massa de probabilidade.

X = número de tentativas até o primeiro sucesso. Cauda truncada após 99% da massa.

O método realmente funciona? Vamos simular

Cada amostra sorteia um u ~ Uniforme(0,1) e devolve X = F⁻¹(u), usando a distribuição escolhida acima. Se o método estiver correto, as barras empíricas (âmbar) devem se aproximar dos traços da distribuição teórica (coral) à medida que N cresce.

O algoritmo, em três passos

1. 1Gere u a partir de uma Uniforme(0, 1).
2. 2Encontre o menor x tal que F(x) ≥ u — isto é, calcule F⁻¹(u).
3. 3Retorne X = F⁻¹(u) como a amostra sorteada.